与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、それぞれの項を分離します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、各シグマの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

共通因数 $n$ でくくります。

$= n \left( \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3(n+1)}{2} + 1 \right)$

括弧の中を通分します。

$= n \left( \frac{(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6}{6} \right)$

分子を展開します。

$= n \left( \frac{2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 6}{6} \right)$

分子を整理します。

$= n \left( \frac{2n^2 + 12n + 16}{6} \right)$

分子を2で割ります。

$= n \left( \frac{n^2 + 6n + 8}{3} \right)$

分子を因数分解します。

$= n \left( \frac{(n+2)(n+4)}{3} \right)$

したがって、最終的な式は以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1) = \frac{n(n+2)(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$