2次方程式 $3x^2 - 2x + k = 0$ の解を判別せよ。ただし、$k$ は実数の定数とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 2x + k = 0$ の解を判別せよ。ただし、$k$ は実数の定数とする。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

$D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ。

$D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

与えられた2次方程式 $3x^2 - 2x + k = 0$ において、$a = 3$, $b = -2$, $c = k$ であるから、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = (-2)^2 - 4(3)(k) = 4 - 12k$

解を判別するために、$D$ の符号を調べます。

(1) $D > 0$ のとき、

$4 - 12k > 0$

$4 > 12k$

$k < \frac{4}{12}$

$k < \frac{1}{3}$

(2) $D = 0$ のとき、

$4 - 12k = 0$

$4 = 12k$

$k = \frac{4}{12}$

$k = \frac{1}{3}$

(3) $D < 0$ のとき、

$4 - 12k < 0$

$4 < 12k$

$k > \frac{4}{12}$

$k > \frac{1}{3}$

したがって、

$k < \frac{1}{3}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$k = \frac{1}{3}$ のとき、重解を持つ。

$k > \frac{1}{3}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

3. 最終的な答え

$k < \frac{1}{3}$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

$k = \frac{1}{3}$ のとき、重解を持つ。

$k > \frac{1}{3}$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。