$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開する問題です。

1. 問題の内容

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開する問題です。

2. 解き方の手順

この式を展開するために、項のペアを適切に選択し、まずそれらのペアを展開します。一般的には、定数項の合計が同じになるようにペアを作ると計算が楽になります。ここでは、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をペアにします。

まず、$(x+1)(x+4)$ を展開します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$

次に、$(x+2)(x+3)$ を展開します。

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

ここで、$A = x^2 + 5x$ と置くと、計算は以下のようになります。

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = (A + 4)(A + 6)$

これを展開すると、

$(A + 4)(A + 6) = A^2 + 6A + 4A + 24 = A^2 + 10A + 24$

$A$ を $x^2 + 5x$ に戻すと、

$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 + 50x) + 24$

最後に、項を整理してまとめます。

$x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$