与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 + 1$ (2) $x^3 - 125$ (3) $8x^3 + 27y^3$ (4) $27a^3 - 64b^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 + 1$

(2) $x^3 - 125$

(3) $8x^3 + 27y^3$

(4) $27a^3 - 64b^3$

2. 解き方の手順

これらの問題は、主に和と差の立方公式を使用します。

(1) $x^3 + 1$

これは $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の形を使用します。

ここで $a = x$、$b = 1$ とすると、

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $x^3 - 125$

これは $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の形を使用します。

ここで $a = x$、$b = 5$ とすると、$125 = 5^3$ より

$x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

(3) $8x^3 + 27y^3$

これは $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の形を使用します。

ここで $a = 2x$、$b = 3y$ とすると、$8x^3 = (2x)^3$、$27y^3 = (3y)^3$ より

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(4) $27a^3 - 64b^3$

これは $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の形を使用します。

ここで $a = 3a$、$b = 4b$ とすると、$27a^3 = (3a)^3$、$64b^3 = (4b)^3$ より

$(3a)^3 - (4b)^3 = (3a - 4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(x - 5)(x^2 + 5x + 25)$

(3) $(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(4) $(3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2)$