与えられた数式 $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた数式 $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$ を展開する。

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

次に、$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を有理化する。分母と分子に $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を掛ける。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2} = 4 + \sqrt{15}$

最後に、それぞれの計算結果を足し合わせる。

$(8 - 2\sqrt{15}) + (4 + \sqrt{15}) = 8 - 2\sqrt{15} + 4 + \sqrt{15} = 12 - \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$12 - \sqrt{15}$