(1) $4x + 3y = 123$ を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。 (2) $7x + 5y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$-21 \le x \le 3$ を満たすものの個数を求める。

1. 問題の内容

(1) $4x + 3y = 123$ を満たす自然数 $x, y$ の組の個数を求める。

(2) $7x + 5y = 2$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$-21 \le x \le 3$ を満たすものの個数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$4x + 3y = 123$ を $y$ について解くと、

$3y = 123 - 4x$

$y = \frac{123 - 4x}{3} = 41 - \frac{4}{3}x$

$x, y$ は自然数なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ である必要がある。

$y > 0$ より、$41 - \frac{4}{3}x > 0$

$\frac{4}{3}x < 41$

$x < \frac{3}{4} \times 41 = \frac{123}{4} = 30.75$

また、$123 - 4x$ が3の倍数である必要があるので、$4x$ が3の倍数である必要がある。

よって、$x$ は3の倍数である必要がある。

$x$ は3の倍数で、$0 < x < 30.75$ を満たすので、$x = 3, 6, 9, \dots, 30$ となる。

$x = 3k$ （$k$ は自然数）とおくと、$3k \le 30$ より $k \le 10$。

$k$ は1から10までの整数をとりうるので、$x$ は10個の値をとる。

それぞれの $x$ の値に対して $y$ が一意に定まるので、自然数の組 $(x, y)$ は10組存在する。

(2)

$7x + 5y = 2$

まず、特殊解を求める。

$7x + 5y = 1$ の特殊解は $x = 3, y = -4$ である。

したがって、$7(3) + 5(-4) = 1$

両辺に2をかけると、$7(6) + 5(-8) = 2$

よって、$7x + 5y = 2$ の特殊解は $x = 6, y = -8$。

$7x + 5y = 2$ と $7(6) + 5(-8) = 2$ の差をとると、

$7(x - 6) + 5(y + 8) = 0$

$7(x - 6) = -5(y + 8)$

7と5は互いに素なので、$x - 6 = 5k$ （$k$ は整数）とおける。

$x = 5k + 6$

このとき、$7(5k) = -5(y + 8)$ なので、$y + 8 = -7k$

$y = -7k - 8$

よって、一般解は $(x, y) = (5k + 6, -7k - 8)$。

$-21 \le x \le 3$ より、

$-21 \le 5k + 6 \le 3$

$-27 \le 5k \le -3$

$-\frac{27}{5} \le k \le -\frac{3}{5}$

$-5.4 \le k \le -0.6$

$k$ は整数なので、$k = -5, -4, -3, -2, -1$

したがって、$k$ は5個の値をとる。

それぞれの $k$ の値に対して $x, y$ が一意に定まるので、条件を満たす整数の組 $(x, y)$ は5組存在する。

3. 最終的な答え

(1) 10組

(2) 5組