問題は4つの小問から構成されています。 * 問1は、計算を簡単にするための式の変形に関する穴埋め問題です。 * 問2は、$x^2 - y^2$の値を因数分解を利用して計算する問題です。 * 問3は、連続する偶数の平方の差に関する穴埋め問題です。 * 問4は、長方形の周りに道を作ったときの道の面積と道の真ん中を通る線の長さの関係を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は4つの小問から構成されています。

* 問1は、計算を簡単にするための式の変形に関する穴埋め問題です。

* 問2は、$x^2 - y^2$の値を因数分解を利用して計算する問題です。

* 問3は、連続する偶数の平方の差に関する穴埋め問題です。

* 問4は、長方形の周りに道を作ったときの道の面積と道の真ん中を通る線の長さの関係を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 問1(1): $51 \times 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 50^2 - 1^2 = 2500 - 1 = 2499$。 よって、ア=50, イ=1, ウ=2499

* 問1(2): $103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2 \times 3 \times 100 + 3^2$ なので、 $103^2 - 100^2 = 2 \times 3 \times 100 + 3^2 = 600 + 9 = 609$. $103^2 = (100+3)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 3 + 3^2$. よってエ=3, オ=9。

* 問2: $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$. $x=38, y=12$ なので、$(x+y)(x-y) = (38+12)(38-12) = 50 \times 26 = 1300$。 よって、カ=12, キ=26, ク=1300。

* 問3: $(2n+2)^2 - (2n)^2 = (4n^2 + 8n + 4) - 4n^2 = 8n + 4 = 4(2n+1)$。 $2n+1$ は整数だから、２つの連続する偶数の平方の差は4の倍数。 よって、ケ=4。

* 問4: 道の面積 $S = (a+2c)(b+2c) - ab = ab + 2ac + 2bc + 4c^2 - ab = 2ac + 2bc + 4c^2$. 道の真ん中を通る線の長さ $l = (a+c) \times 2 + (b+c) \times 2 = 2a + 2c + 2b + 2c = 2(a+b+2c) = 2(a+b) + 4c = 2(a+b+2c)$. なので、 $l = 2(a+c) + 2(b+c)$.

よって、サ=2。

3. 最終的な答え

* 問1(1): ア=50, イ=1, ウ=2499

* 問1(2): エ=3, オ=9

* 問2: カ=12, キ=26, ク=1300

* 問3: ケ=4

* 問4: サ=2