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$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く。 (1) $\sin \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ (4) $\tan \theta < \frac{1}{\sqrt{3}}$

解析学三角関数不等式三角不等式
2025/4/7

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の不等式を解く。
(1) sin⁡θ<−12\sin \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}
(2) cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}
(3) sin⁡θ≥12\sin \theta \ge \frac{1}{2}
(4) tan⁡θ<13\tan \theta < \frac{1}{\sqrt{3}}

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ<−12\sin \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}}
sin⁡θ=−12\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta は 5π4\frac{5\pi}{4} と 7π4\frac{7\pi}{4} である。
sin⁡θ<−12\sin \theta < -\frac{1}{\sqrt{2}} となる範囲は 5π4<θ<7π4\frac{5\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4} である。
(2) cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}
cos⁡θ=12\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} となる θ\theta は π4\frac{\pi}{4} と 7π4\frac{7\pi}{4} である。
cos⁡θ<12\cos \theta < \frac{1}{\sqrt{2}} となる範囲は π4<θ<7π4\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4} である。
(3) sin⁡θ≥12\sin \theta \ge \frac{1}{2}
sin⁡θ=12\sin \theta = \frac{1}{2} となる θ\theta は π6\frac{\pi}{6} と 5π6\frac{5\pi}{6} である。
sin⁡θ≥12\sin \theta \ge \frac{1}{2} となる範囲は π6≤θ≤5π6\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} である。
(4) tan⁡θ<13\tan \theta < \frac{1}{\sqrt{3}}
tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となる θ\theta は π6\frac{\pi}{6} である。
tan⁡θ\tan \theta の周期は π\pi なので、tan⁡θ=13\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} となるもう一つの θ\theta は π6+π=7π6\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} である。
tan⁡θ\tan \theta が定義されない θ\theta は θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} と θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} である。
tan⁡θ<13\tan \theta < \frac{1}{\sqrt{3}} となる範囲は 0≤θ<π60 \le \theta < \frac{\pi}{6}, π2<θ<7π6\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6}, 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi である。

3. 最終的な答え

(1) 5π4<θ<7π4\frac{5\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}
(2) π4<θ<7π4\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}
(3) π6≤θ≤5π6\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}
(4) 0≤θ<π60 \le \theta < \frac{\pi}{6}, π2<θ<7π6\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{6}, 3π2<θ<2π\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi

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