$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + x} - x$ を有理化します。分子と分母に $\sqrt{x^2 + x} + x$ を掛けます。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x) = (x^2 + x) - x^2 = x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$

次に、分母の $\sqrt{x^2 + x}$ を $x$ で割ります。$x > 0$ のとき、$x = \sqrt{x^2}$ であることに注意すると、

$\sqrt{x^2 + x} = \sqrt{x^2 (1 + \frac{1}{x})} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x}}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1)}$

$x$ で約分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$