与えられた式が正しいことを示す問題です。具体的には、$cos^2 x = \frac{1}{1 + tan^2 x}$ が成り立つことを示します。

1. 問題の内容

与えられた式が正しいことを示す問題です。具体的には、$cos^2 x = \frac{1}{1 + tan^2 x}$ が成り立つことを示します。

2. 解き方の手順

まず、$tan x$ を $sin x$ と $cos x$ で表します。

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ なので、$tan^2 x = \frac{sin^2 x}{cos^2 x}$ となります。

与えられた式の右辺にこれを代入すると、

$\frac{1}{1 + tan^2 x} = \frac{1}{1 + \frac{sin^2 x}{cos^2 x}}$

となります。

次に、分母を整理します。

$\frac{1}{1 + \frac{sin^2 x}{cos^2 x}} = \frac{1}{\frac{cos^2 x + sin^2 x}{cos^2 x}}$

ここで、$cos^2 x + sin^2 x = 1$ であることを用いると、

$\frac{1}{\frac{1}{cos^2 x}} = cos^2 x$

となります。

したがって、与えられた式の右辺は $cos^2 x$ となり、左辺と等しくなります。

3. 最終的な答え

$cos^2 x = \frac{1}{1 + tan^2 x}$