与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}} $$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ有理化します。

分子の有理化:

$$\sqrt{x+3} - \sqrt{x} = (\sqrt{x+3} - \sqrt{x}) \cdot \frac{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}} = \frac{(x+3) - x}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$

分母の有理化:

$$\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} = (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) \cdot \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \frac{(x+2) - (x+1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$$

したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}}{\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}}$$

次に、$x$ の平方根で分子と分母を割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x}})}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + \sqrt{1}}$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3(\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x}})}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + \sqrt{1}} = \frac{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0})}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1}} = \frac{3(1+1)}{1+1} = \frac{3(2)}{2} = 3$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}} = 3$$