$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、次の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ のなるべく簡単な式で表す問題です。 $$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$$

1. 問題の内容

$0 \le \alpha < 2\pi$, $0 \le \beta < 2\pi$, $0 \le \gamma < 2\pi$ のとき、次の式を $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ のなるべく簡単な式で表す問題です。

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) + \cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma)$$

2. 解き方の手順

和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を利用します。

まず、第1項と第2項の和を計算します。

$$\cos(\alpha + \beta + \gamma) + \cos(\alpha + \beta - \gamma) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha + \beta - \gamma)}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta + \gamma) - (\alpha + \beta - \gamma)}{2}$$

$$= 2 \cos (\alpha + \beta) \cos \gamma$$

次に、第3項と第4項の和を計算します。

$$\cos(\alpha - \beta + \gamma) + \cos(-\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cos \frac{(\alpha - \beta + \gamma) + (-\alpha + \beta + \gamma)}{2} \cos \frac{(\alpha - \beta + \gamma) - (-\alpha + \beta + \gamma)}{2}$$

$$= 2 \cos (\gamma) \cos(\alpha-\beta)$$

したがって、求める式は次のようになります。

$$2 \cos (\alpha + \beta) \cos \gamma + 2 \cos(\alpha - \beta) \cos \gamma = 2 \cos \gamma [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$$

ここで、再度和積の公式を利用します。

$$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \cos \alpha \cos \beta$$

よって、求める式は

$$2 \cos \gamma \cdot 2 \cos \alpha \cos \beta = 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$$

3. 最終的な答え

$4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$