$0 \le x < \pi$ のとき、関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x + 1$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < \pi$ のとき、関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x + 1$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の倍角の公式を用いて式を整理する。

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$

これらを $y$ の式に代入すると、

$y = 3 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + 1$

$y = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + 1$

$y = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$

次に、$R \cos(2x + \alpha)$ の形に合成する。

$R = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$\cos \alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

よって、

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

$0 \le x < \pi$ より、

$0 \le 2x < 2\pi$

$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ の最大値は $1$ ( $2x+\frac{\pi}{6} = 0$ となる時）だが、$2x+\frac{\pi}{6}$ の範囲に $0$ は含まれない。$2x+\frac{\pi}{6} = 2\pi$ の時も同様。

よって、$2x+\frac{\pi}{6} = 0$ や $2x+\frac{\pi}{6} = 2\pi$ を満たす $x$ は定義域に含まれない。

$2x + \frac{\pi}{6} = 0$ は $2x = -\frac{\pi}{6}$ なので不適。

$2x + \frac{\pi}{6} = 2\pi$ は $2x = \frac{11\pi}{6}$ なので不適。

$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ のとき $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2x + \frac{\pi}{6} = \pi$ のとき $\cos \pi = -1$

$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ のとき $\cos \frac{13\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2x + \frac{\pi}{6}$ の範囲において、$\cos(2x+\frac{\pi}{6})$ の最大値は $1$ ($2x + \frac{\pi}{6} = 0$ は範囲外)、最小値は $-1$ ($2x + \frac{\pi}{6} = \pi$)となる。

$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ のとき、$2x = 0$ より $x=0$.

$2x + \frac{\pi}{6} = \pi$ のとき、$2x = \frac{5\pi}{6}$ より $x = \frac{5\pi}{12}$.

$x=0$のとき、

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$

$\cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ の最大値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$2x+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$のときであり、このとき$x=0$。

また$\frac{13\pi}{6}$のときも同様。

最小値は$2x + \frac{\pi}{6} = \pi$のときなので、$x = \frac{5\pi}{12}$。このとき $\cos(2x+\frac{\pi}{6}) = -1$。

よって、

最大値は $y = \frac{5}{2} + \sqrt{3}(1) = \frac{5}{2} + \sqrt{3}$ ではなく、$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4$。

最小値は $y = \frac{5}{2} + \sqrt{3}(-1) = \frac{5}{2} - \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

最大値: $4$

最小値: $\frac{5}{2} - \sqrt{3}$