与えられた関数 $y = x^4 - 2x^2 + 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y$ の極大値と、極大値をとる $x$ の値をすべて求めます。 (2) $y$ の極小値と、極小値をとる $x$ の値をすべて求めます。 (3) $y$ の増減を調べて増減表を書きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^4 - 2x^2 + 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y$ の極大値と、極大値をとる $x$ の値をすべて求めます。

(2) $y$ の極小値と、極小値をとる $x$ の値をすべて求めます。

(3) $y$ の増減を調べて増減表を書きます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 4x^3 - 4x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 1$ です。

(3) $y'$ の符号の変化を調べます。

$x < -1$ のとき、$y' < 0$

$-1 < x < 0$ のとき、$y' > 0$

$0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$

$x > 1$ のとき、$y' > 0$

(4) 増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|---|-----|----|-----|----|-----|----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↘ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ |

(5) 極大値、極小値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$。$x = 0$ で極大値 $1$ をとります。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$。$x = -1$ で極小値 $0$ をとります。

$x = 1$ のとき、$y = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$。$x = 1$ で極小値 $0$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 極大値：$1$ ($x = 0$ のとき)

(2) 極小値：$0$ ($x = -1, 1$ のとき)

(3) 増減表：

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 1 | ... |

|---|-----|----|-----|----|-----|----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↘ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↗ |