自然対数の底 $e$ の定義式 $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ を既知として、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$ の極限値を求めよ。

1. 問題の内容

自然対数の底 $e$ の定義式 $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ を既知として、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$ の極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を以下のように変形します。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n$

ここで、$m = n/2$ とおくと、$n = 2m$ となり、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n})^n = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{2}{2m})^{2m}$

$= \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^{2m}$

$= \lim_{m \to \infty} [(1 + \frac{1}{m})^m]^2$

ここで、$e = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m$ が既知なので、

$\lim_{m \to \infty} [(1 + \frac{1}{m})^m]^2 = (\lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m)^2 = e^2$

3. 最終的な答え

$e^2$