$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ を証明します。

1. 問題の内容

$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、右辺を変形します。

$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$

次に、分子と分母に $\cos^2 x$ を掛けます。

$\frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}$

三角関数の恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を用いると、

$\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\cos 2x$ の2倍角の公式は $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ であるので、

$\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

したがって、$\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \cos 2x$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$