$\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ を証明します。

解析学三角関数恒等式2倍角の公式証明
2025/4/15

1. 問題の内容

cos2x=1tan2x1+tan2x\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} を証明します。

2. 解き方の手順

まず、tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} であることを利用して、右辺を変形します。
1tan2x1+tan2x=1sin2xcos2x1+sin2xcos2x\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}
次に、分子と分母に cos2x\cos^2 x を掛けます。
1sin2xcos2x1+sin2xcos2x=cos2xsin2xcos2x+sin2x\frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}
三角関数の恒等式 cos2x+sin2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 を用いると、
cos2xsin2xcos2x+sin2x=cos2xsin2x\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \cos^2 x - \sin^2 x
cos2x\cos 2x の2倍角の公式は cos2x=cos2xsin2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x であるので、
cos2xsin2x=cos2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x
したがって、1tan2x1+tan2x=cos2x\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \cos 2x が証明されました。

3. 最終的な答え

cos2x=1tan2x1+tan2x\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}

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