関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ について、$0 \le x < \pi$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ について、$0 \le x < \pi$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の2倍角の公式を用いて関数を整理します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

これらの公式を用いると、関数は次のように書き換えられます。

$y = 3\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + 1$

$y = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + 1$

$y = \frac{5}{2} + \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$

次に、三角関数の合成を行います。$R\cos(2x + \alpha) = \frac{3}{2}\cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$となる$R$と$\alpha$を求めます。

$R = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$\cos \alpha = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.　したがって$\alpha = \frac{\pi}{6}$.

よって、関数は以下のように書き換えられます。

$y = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$

$0 \le x < \pi$ であるので、$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となります。

$\cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ の最大値は1であり、最小値は-1となります。

したがって、

$y_{max} = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \times 1 = \frac{5}{2} + \sqrt{3}$

$y_{min} = \frac{5}{2} + \sqrt{3} \times (-1) = \frac{5}{2} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{2} + \sqrt{3}$

最小値: $\frac{5}{2} - \sqrt{3}$