曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x = 0$, $x = 2\pi$, $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x = 0$, $x = 2\pi$, $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める面積は、$y = \cos x$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積なので、定積分を用いて計算します。ただし、$\cos x$ は $x$軸より下にある部分もあるので、積分区間を分けて絶対値をとる必要があります。

$0 \le x \le 2\pi$ において、$\cos x \ge 0$ となるのは $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ および $\frac{3\pi}{2} \le x \le 2\pi$ のときで、$\cos x \le 0$ となるのは $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ のときです。したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx \right| + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx$

ここで、$\int \cos x \, dx = \sin x + C$ （$C$は積分定数）であるから、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = -1 - 1 = -2$

よって、

$\left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx \right| = |-2| = 2$

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \sin 2\pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$

したがって、

$S = 1 + 2 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

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