領域 $D$ を $1 \le x^2 + y^2 \le 9$ で定義するとき、二重積分 $I = \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$ の値を求める。

1. 問題の内容

領域 $D$ を $1 \le x^2 + y^2 \le 9$ で定義するとき、二重積分 $I = \iint_D \log(x^2 + y^2) \, dxdy$ の値を求める。

2. 解き方の手順

領域 $D$ が円環であるため、極座標変換を用いる。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dxdy = r\,drd\theta$ となる。

積分領域 $D$ は、極座標では $1 \le r^2 \le 9$ すなわち $1 \le r \le 3$ および $0 \le \theta \le 2\pi$ で表される。

したがって、積分は次のようになる。

$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} \log(r^2) \, r \, dr \, d\theta$

$\log(r^2) = 2\log(r)$ なので、

$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} 2\log(r) \, r \, dr \, d\theta = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{3} r \log(r) \, dr \, d\theta$

$\int r\log(r) dr$ を計算するために部分積分を用いる。

$u = \log(r)$, $dv = r \, dr$ とすると、$du = \frac{1}{r} dr$, $v = \frac{1}{2}r^2$ である。

したがって、

$\int r\log(r) dr = \frac{1}{2}r^2 \log(r) - \int \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{1}{r} dr = \frac{1}{2}r^2 \log(r) - \frac{1}{2} \int r dr = \frac{1}{2}r^2 \log(r) - \frac{1}{4}r^2$

よって、

$\int_{1}^{3} r \log(r) dr = \left[ \frac{1}{2}r^2 \log(r) - \frac{1}{4}r^2 \right]_{1}^{3} = \left(\frac{9}{2} \log(3) - \frac{9}{4}\right) - \left(\frac{1}{2}\log(1) - \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{2} \log(3) - \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{2}\log(3) - 2$

$I = 2 \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{9}{2}\log(3) - 2\right) d\theta = 2 \left(\frac{9}{2}\log(3) - 2\right) \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2 \left(\frac{9}{2}\log(3) - 2\right) (2\pi) = 4\pi \left(\frac{9}{2}\log(3) - 2\right) = (18\log(3) - 8)\pi$

3. 最終的な答え

$(18\log(3) - 8)\pi$