極座標の方程式 $r = 2 + \cos\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

極座標の方程式 $r = 2 + \cos\theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

極座標で表された図形の面積は、以下の式で計算できます。

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

この問題では、$\alpha = 0$, $\beta = 2\pi$ なので、

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2 + \cos\theta)^2 d\theta$

$(2 + \cos\theta)^2$ を展開すると、

$(2 + \cos\theta)^2 = 4 + 4\cos\theta + \cos^2\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (4 + 4\cos\theta + \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}) d\theta$

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2} + 4\cos\theta + \frac{1}{2}\cos(2\theta)) d\theta$

積分を実行します。

$S = \frac{1}{2} [\frac{9}{2}\theta + 4\sin\theta + \frac{1}{4}\sin(2\theta)]_{0}^{2\pi}$

$S = \frac{1}{2} [(\frac{9}{2}(2\pi) + 4\sin(2\pi) + \frac{1}{4}\sin(4\pi)) - (\frac{9}{2}(0) + 4\sin(0) + \frac{1}{4}\sin(0))]$

$S = \frac{1}{2} (9\pi + 0 + 0 - 0 - 0 - 0) = \frac{9\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{2}$