与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3-x}-2}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3-x}-2}{x+1}$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、分母が0になるので、分子に共役な式を掛けて有理化します。

分子の共役な式は $\sqrt{3-x}+2$ です。分子と分母の両方にこの式を掛けます。

$\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt{3-x}-2}{x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt{3-x}-2)(\sqrt{3-x}+2)}{(x+1)(\sqrt{3-x}+2)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3-x}-2)(\sqrt{3-x}+2) = (3-x) - 4 = -x - 1 = -(x+1)$

したがって、式は次のようになります。

$\lim_{x \to -1} \frac{-(x+1)}{(x+1)(\sqrt{3-x}+2)}$

$x \neq -1$ のとき、$x+1$で約分できます。

$\lim_{x \to -1} \frac{-1}{\sqrt{3-x}+2}$

$x = -1$ を代入すると次のようになります。

$\frac{-1}{\sqrt{3-(-1)}+2} = \frac{-1}{\sqrt{4}+2} = \frac{-1}{2+2} = \frac{-1}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4}$