曲線 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ (ただし $1 \le x \le 2$) の長さを求め、$l = \frac{(\text{ア})}{24}$ の形式で表したときの (ア) に入る数値を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ (ただし $1 \le x \le 2$) の長さを求め、$l = \frac{(\text{ア})}{24}$ の形式で表したときの (ア) に入る数値を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $l$ は、次の式で与えられます。

$$l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}) = x^2 - \frac{1}{4x^2}$$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (x^2 - \frac{1}{4x^2})^2 = 1 + x^4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = x^4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = (x^2 + \frac{1}{4x^2})^2$$

したがって、

$$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(x^2 + \frac{1}{4x^2})^2} = x^2 + \frac{1}{4x^2}$$

曲線の長さ $l$ は、

$$l = \int_{1}^{2} (x^2 + \frac{1}{4x^2}) dx = \int_{1}^{2} (x^2 + \frac{1}{4}x^{-2}) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{1}{4x}]_{1}^{2}$$

$$= (\frac{2^3}{3} - \frac{1}{4 \cdot 2}) - (\frac{1^3}{3} - \frac{1}{4 \cdot 1}) = (\frac{8}{3} - \frac{1}{8}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{7}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{7}{3} + \frac{1}{8} = \frac{56 + 3}{24} = \frac{59}{24}$$

したがって、(ア) に入る数値は 59 です。

3. 最終的な答え

59