与えられた式 $\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、右辺を変形して左辺に近づけることを試みます。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることと、$1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ を利用します。

$\frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}$

分子と分母に $\cos^2 x$ をかけると、

$\frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x}{(1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}) \cdot \cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{1} = \sin^2 x$

したがって、$\frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \sin^2 x$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

与えられた式 $\sin^2 x = \frac{\tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ は正しい。