関数 $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ の逆関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$ の逆関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$を入れ替えます。

$x = \frac{2^y + 2^{-y}}{2}$

両辺に2をかけます。

$2x = 2^y + 2^{-y}$

$2^y = t$ とおきます。$t > 0$であることに注意してください。

$2x = t + \frac{1}{t}$

両辺に$t$をかけます。

$2xt = t^2 + 1$

$t^2 - 2xt + 1 = 0$

$t$について解くために、二次方程式の解の公式を使います。

$t = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4}}{2} = \frac{2x \pm 2\sqrt{x^2 - 1}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$

$t = 2^y$なので、

$2^y = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$

両辺の対数をとります。底は2とします。

$y = \log_2 (x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$x \ge 1$の場合、$x + \sqrt{x^2 - 1} > 0$ と $x - \sqrt{x^2 - 1} > 0$ が成り立ちます。

なぜなら、$x > \sqrt{x^2-1}$なので、$x > 0$ かつ $x^2 > x^2-1$つまり$1 > 0$なので常に成り立ちます。

$(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = x^2 - (x^2 - 1) = 1$ なので、$x - \sqrt{x^2 - 1} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$。

したがって、$\log_2(x - \sqrt{x^2 - 1}) = \log_2(\frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}) = - \log_2(x + \sqrt{x^2 - 1})$。

したがって、$y = \pm \log_2 (x + \sqrt{x^2 - 1})$.

ただし、$x \ge 1$。

3. 最終的な答え

$y = \pm \log_2 (x + \sqrt{x^2 - 1})$ (ただし、$x \ge 1$)

または

$y = \log_2 (x + \sqrt{x^2 - 1})$ or $y = \log_2 (x - \sqrt{x^2 - 1})$. (ただし、$x \ge 1$)