$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題11.1(1), 11.1(2), 11.2(1), 11.2(2), 11.3(1), 11.3(2), 11.4を解きます。

**問題11.1 (1)**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、まず分子を有理化します。

分子と分母に $\sqrt{x+3}+2$ を掛けます。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

$x \neq 1$ なので $x-1$ で約分できます。

$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$

$x=1$ を代入すると、

$= \frac{1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

**問題11.1 (2)**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子と分母を因数分解します。

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$

$x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$

よって、

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x^2+3x+9}$

$x \neq 3$ なので $x-3$ で約分できます。

$x=3$ を代入すると、

$\frac{3+3}{3^2+3 \cdot 3+9} = \frac{6}{9+9+9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{9}$

**問題11.2 (1)**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x-2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{1} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$

**問題11.2 (2)**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x^2}}{1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x^2}}{1} = \frac{2+0}{1} = 2$

3. 最終的な答え

$2$

**問題11.3 (1)**

1. 問題の内容

$y = \frac{1}{(2x+1)^4}$ を微分します。

2. 解き方の手順

$y = (2x+1)^{-4}$ と書き換えます。

合成関数の微分公式を用いると、

$\frac{dy}{dx} = -4(2x+1)^{-5} \cdot 2 = -8(2x+1)^{-5} = -\frac{8}{(2x+1)^5}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{8}{(2x+1)^5}$

**問題11.3 (2)**

1. 問題の内容

$y = \sqrt{x^2+1}$ を微分します。

2. 解き方の手順

$y = (x^2+1)^{1/2}$ と書き換えます。

合成関数の微分公式を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

**問題11.4**

1. 問題の内容

$y = x^3 - 3x^2 + 2$ の増減を調べ、グラフをかけ。

2. 解き方の手順

まず、微分を計算します。

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x(x-2) = 0$ より、$x = 0, 2$

増減表を書きます。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|------|-------|-----|-------|-----|-------|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 2 | 減少 | -2 | 増加 |

$x=0$ のとき、$y=2$ (極大値)

$x=2$ のとき、$y=8-12+2=-2$ (極小値)

グラフは、$x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2-2x-2)$ なので、$x=1\pm\sqrt{3}$ でx軸と交わります。$y$切片は $2$ です。$x\rightarrow \infty$のとき、$y\rightarrow \infty$、$x\rightarrow -\infty$のとき、$y\rightarrow -\infty$。

3. 最終的な答え

増減表は上記。極大値 $(0, 2)$、極小値 $(2, -2)$。グラフは省略。