定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。ヒントとして、$x = \sin \theta$ とおくことが与えられています。

解析学定積分置換積分三角関数
2025/7/15

1. 問題の内容

定積分 01211x2dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx を計算します。ヒントとして、x=sinθx = \sin \theta とおくことが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、x=sinθx = \sin \theta と置換します。このとき、dx=cosθdθdx = \cos \theta d\theta となります。
次に、積分範囲を変更します。
x=0x=0 のとき、sinθ=0\sin \theta = 0 なので、θ=0\theta = 0 です。
x=12x=\frac{1}{2} のとき、sinθ=12\sin \theta = \frac{1}{2} なので、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6} です。
したがって、積分は次のようになります。
01211x2dx=0π611sin2θcosθdθ\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta
三角関数の恒等式 sin2θ+cos2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、1sin2θ=cos2θ=cosθ\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos \theta| です。
積分範囲 0θπ60 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6} において、cosθ>0\cos \theta > 0 なので、 cosθ=cosθ|\cos \theta| = \cos \theta です。
0π61cosθcosθdθ=0π61dθ\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\cos \theta} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta
0π61dθ=[θ]0π6=π60=π6\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}

3. 最終的な答え

π6\frac{\pi}{6}

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