与えられた3つの関数を積分する問題です。 (1) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$ (2) $\frac{x^3+2x^2-2}{x^2+x-2}$ (3) $\frac{2x-1}{x(x+1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を積分する問題です。

(1) $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$

(2) $\frac{x^3+2x^2-2}{x^2+x-2}$

(3) $\frac{2x-1}{x(x+1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて積分します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$とおき、$A, B$を求めます。

$x-1 = A(x-2) + B(x+1)$となります。

$x=-1$のとき$-2 = -3A$より$A = \frac{2}{3}$。

$x=2$のとき$1 = 3B$より$B = \frac{1}{3}$。

よって$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x-2)}$

$\int \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} dx = \int (\frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x-2)}) dx = \frac{2}{3}\ln|x+1| + \frac{1}{3}\ln|x-2| + C$

(2) 分子の次数が分母の次数以上なので、まず割り算を行います。

$\frac{x^3+2x^2-2}{x^2+x-2} = x+1+\frac{4}{x^2+x-2}=x+1+\frac{4}{(x+2)(x-1)}$

$\frac{4}{(x+2)(x-1)} = \frac{C}{x+2} + \frac{D}{x-1}$とおき、$C, D$を求めます。

$4 = C(x-1) + D(x+2)$となります。

$x=-2$のとき$4 = -3C$より$C = -\frac{4}{3}$。

$x=1$のとき$4 = 3D$より$D = \frac{4}{3}$。

よって$\frac{4}{(x+2)(x-1)} = -\frac{4}{3(x+2)} + \frac{4}{3(x-1)}$

$\int \frac{x^3+2x^2-2}{x^2+x-2} dx = \int (x+1-\frac{4}{3(x+2)} + \frac{4}{3(x-1)}) dx = \frac{x^2}{2} + x - \frac{4}{3}\ln|x+2| + \frac{4}{3}\ln|x-1| + C$

(3) 部分分数分解を用いて積分します。

$\frac{2x-1}{x(x+1)^2} = \frac{E}{x} + \frac{F}{x+1} + \frac{G}{(x+1)^2}$とおき、$E, F, G$を求めます。

$2x-1 = E(x+1)^2 + Fx(x+1) + Gx$となります。

$x=0$のとき$-1 = E$。

$x=-1$のとき$-3 = -G$より$G=3$。

$2x-1 = -(x^2+2x+1) + Fx(x+1) + 3x$

$2x-1 = -x^2-2x-1 + Fx^2+Fx + 3x$

$0 = (-1+F)x^2 + (-2+F+3-2)x + (-1+1)$

$F = 1$

よって$\frac{2x-1}{x(x+1)^2} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}$

$\int \frac{2x-1}{x(x+1)^2} dx = \int (-\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}) dx = -\ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}\ln|x+1| + \frac{1}{3}\ln|x-2| + C$

(2) $\frac{x^2}{2} + x - \frac{4}{3}\ln|x+2| + \frac{4}{3}\ln|x-1| + C$

(3) $-\ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + C$