$n$ を自然数とするとき、関数 $y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

1階微分: $y' = -\sin x$

2階微分: $y'' = -\cos x$

3階微分: $y''' = \sin x$

4階微分: $y^{(4)} = \cos x$

4回微分するごとに、元の関数 $\cos x$ に戻ることがわかります。

したがって、$2n$ 回微分した関数は、$n$ が偶数か奇数かによって場合分けされます。

$y^{(2n)} = \frac{d^{2n}}{dx^{2n}} \cos x$

$n = 1$ のとき、$y^{(2)} = -\cos x$

$n = 2$ のとき、$y^{(4)} = \cos x$

$n = 3$ のとき、$y^{(6)} = -\cos x$

$n = 4$ のとき、$y^{(8)} = \cos x$

一般に、$n$ が偶数のとき $y^{(2n)} = \cos x$、$n$ が奇数のとき $y^{(2n)} = -\cos x$ となります。

これは、$(-1)^n \cos x$ と表すことができます。

3. 最終的な答え

$(-1)^n \cos x$