ロピタルの定理を用いて、以下の極限値を求めます。 a) $\lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ b) $\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}$ c) $\lim_{x\to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ d) $\lim_{x\to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、以下の極限値を求めます。

a) $\lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

b) $\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}$

c) $\lim_{x\to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

d) $\lim_{x\to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

$y = x^{\frac{1}{1-x}}$ とおく。

両辺の対数をとると、$\log y = \frac{1}{1-x}\log x = \frac{\log x}{1-x}$

$\lim_{x\to 1} \log y = \lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x}$。これは$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to 1} \frac{\log x}{1-x} = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x\to 1} -\frac{1}{x} = -1$

$\lim_{x\to 1} \log y = -1$ より、$\lim_{x\to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

b) $\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}$

これは$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$

c) $\lim_{x\to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおく。

両辺の対数をとると、$\log y = \frac{1}{x} \log(1+x) = \frac{\log(1+x)}{x}$

$\lim_{x\to +0} \log y = \lim_{x\to +0} \frac{\log(1+x)}{x}$。これは$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to +0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x\to +0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x\to +0} \frac{1}{1+x} = 1$

$\lim_{x\to +0} \log y = 1$ より、$\lim_{x\to +0} y = e^1 = e$

d) $\lim_{x\to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$

これは$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{2(\log x)\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to \infty} \frac{2\log x}{x}$

これは$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、再度ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x\to \infty} \frac{2\log x}{x} = \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \lim_{x\to \infty} \frac{2}{x} = 0$

3. 最終的な答え

a) $\frac{1}{e}$

b) $0$

c) $e$

d) $0$