$\frac{d}{dx} \arcsin \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\frac{d}{dx} \arcsin \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、合成関数の微分を使います。

まず、$\arcsin(u)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であることを思い出します。

次に、$u = \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ とします。

すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

です。

合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx} \arcsin \frac{2x+1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{\sqrt{5}})^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}}$

となります。

これを整理します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{\sqrt{5}})^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(2x+1)^2}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5 - (4x^2+4x+1)}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4-4x^2-4x}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4-4x^2-4x}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{4-4x^2-4x}} = \frac{2}{2\sqrt{1-x^2-x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{1-x-x^2}}$