次の関数の第n次導関数を求めよ。 (a) $y = e^{2x}$ (b) $y = \log x$ (c) $y = x^2 e^x$

1. 問題の内容

次の関数の第n次導関数を求めよ。

(a) $y = e^{2x}$

(b) $y = \log x$

(c) $y = x^2 e^x$

2. 解き方の手順

(a) $y = e^{2x}$の場合

1階微分は $y' = 2e^{2x}$

2階微分は $y'' = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

3階微分は $y''' = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

したがって、n階微分は $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

(b) $y = \log x$の場合

1階微分は $y' = \frac{1}{x} = x^{-1}$

2階微分は $y'' = -x^{-2} = (-1)x^{-2}$

3階微分は $y''' = 2x^{-3} = (-1)^2 2! x^{-3}$

4階微分は $y'''' = -6x^{-4} = (-1)^3 3! x^{-4}$

したがって、n階微分は $y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! x^{-n}$

(c) $y = x^2 e^x$の場合

ライプニッツの公式を用いる。ライプニッツの公式とは、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u = x^2$, $v = e^x$とする。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$v' = e^x$, $v'' = e^x$, ... $v^{(n)} = e^x$

$y^{(n)} = (x^2 e^x)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (e^x)^{(n-k)}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 e^x + \binom{n}{1} 2x e^x + \binom{n}{2} 2 e^x$

$y^{(n)} = x^2 e^x + 2nx e^x + n(n-1) e^x$

$y^{(n)} = (x^2 + 2nx + n^2 - n) e^x$

3. 最終的な答え

(a) $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

(b) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

(c) $y^{(n)} = (x^2 + 2nx + n(n-1)) e^x$