領域 $D$ における二重積分 $\iint_D 2xy \,dx\,dy$ を計算します。ここで、$D$ は $0 \le x \le 1$ かつ $x^2 \le y \le x$ で定義される領域です。

1. 問題の内容

領域 $D$ における二重積分 $\iint_D 2xy \,dx\,dy$ を計算します。ここで、$D$ は $0 \le x \le 1$ かつ $x^2 \le y \le x$ で定義される領域です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ について積分し、次に $x$ について積分します。

積分範囲は $x^2 \le y \le x$ および $0 \le x \le 1$ なので、二重積分は次のようになります。

$\iint_D 2xy\,dy\,dx = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} 2xy\,dy\,dx$

まず、$y$ に関する積分を計算します。

$\int_{x^2}^{x} 2xy\,dy = \left[xy^2\right]_{x^2}^{x} = x(x^2) - x(x^4) = x^3 - x^5$

次に、$x$ に関する積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (x^3 - x^5)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{1^6}{6} - (0 - 0) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}$