## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の3つの累次積分の値を求めます。

(1) $\iint_D y\cos(x) dxdy$, $D: 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, 0 \le x \le y$

(2) $\iint_D xe^y dxdy$, $D: 0 \le y \le 1, y \le x \le 2y$

(3) $\iint_D \frac{\sin(x)}{x} dxdy$, $D: 0 \le y \le x, 0 \le x \le \pi$

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2. 解き方の手順

**(1) $\iint_D y\cos(x) dxdy$, $D: 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, 0 \le x \le y$**

まず、$x$について積分し、次に$y$について積分します。

$\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{y} y\cos(x) dx dy$

内側の積分：

$\int_{0}^{y} y\cos(x) dx = y [\sin(x)]_{0}^{y} = y\sin(y) - y\sin(0) = y\sin(y)$

外側の積分：

$\int_{0}^{\pi/2} y\sin(y) dy$

部分積分を使って計算します。$u=y$, $dv=\sin(y)dy$とすると、$du=dy$, $v=-\cos(y)$となります。

$\int y\sin(y) dy = -y\cos(y) - \int (-\cos(y)) dy = -y\cos(y) + \sin(y) + C$

したがって、

$\int_{0}^{\pi/2} y\sin(y) dy = [-y\cos(y) + \sin(y)]_{0}^{\pi/2} = (-\frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) - (-0\cos(0) + \sin(0)) = (0+1) - (0+0) = 1$

**(2) $\iint_D xe^y dxdy$, $D: 0 \le y \le 1, y \le x \le 2y$**

まず、$x$について積分し、次に$y$について積分します。

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} xe^y dx dy$

内側の積分：

$\int_{y}^{2y} xe^y dx = e^y \int_{y}^{2y} x dx = e^y [\frac{1}{2}x^2]_{y}^{2y} = e^y(\frac{1}{2}(2y)^2 - \frac{1}{2}y^2) = e^y(\frac{4y^2}{2} - \frac{y^2}{2}) = e^y(\frac{3y^2}{2})$

外側の積分：

$\int_{0}^{1} \frac{3}{2}y^2e^y dy = \frac{3}{2} \int_{0}^{1} y^2e^y dy$

部分積分を2回使います。

$u = y^2$, $dv = e^y dy$とすると、$du = 2y dy$, $v = e^y$

$\int y^2e^y dy = y^2e^y - \int 2ye^y dy$

次に、$\int 2ye^y dy = 2 \int ye^y dy$を部分積分で計算します。

$u = y$, $dv = e^y dy$とすると、$du = dy$, $v = e^y$

$\int ye^y dy = ye^y - \int e^y dy = ye^y - e^y$

したがって、$\int 2ye^y dy = 2(ye^y - e^y)$

$\int y^2e^y dy = y^2e^y - 2(ye^y - e^y) = y^2e^y - 2ye^y + 2e^y$

$\frac{3}{2} \int_{0}^{1} y^2e^y dy = \frac{3}{2} [y^2e^y - 2ye^y + 2e^y]_{0}^{1} = \frac{3}{2} [(1^2e^1 - 2(1)e^1 + 2e^1) - (0^2e^0 - 2(0)e^0 + 2e^0)] = \frac{3}{2} [(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)] = \frac{3}{2}(e - 2)$

**(3) $\iint_D \frac{\sin(x)}{x} dxdy$, $D: 0 \le y \le x, 0 \le x \le \pi$**

まず、$y$について積分し、次に$x$について積分します。

$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} \frac{\sin(x)}{x} dy dx$

内側の積分：

$\int_{0}^{x} \frac{\sin(x)}{x} dy = \frac{\sin(x)}{x} \int_{0}^{x} dy = \frac{\sin(x)}{x} [y]_{0}^{x} = \frac{\sin(x)}{x} (x - 0) = \sin(x)$

外側の積分：

$\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

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3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{3}{2}(e-2)$

(3) 2