2変数関数 $f(x,y) = \frac{x-1}{y^2+1} - x$ が与えられています。有界閉集合 $S = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 4-y^2\}$ における $f$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x,y) = \frac{x-1}{y^2+1} - x$ が与えられています。有界閉集合 $S = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 4-y^2\}$ における $f$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ の内部で $f$ の極値を求めます。そのため、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x,y)$ を求めます。

$f_x = \frac{1}{y^2+1} - 1 = 0$ より、$y^2+1 = 1$ となり、$y=0$ が得られます。

$f_y = \frac{-2y(x-1)}{(y^2+1)^2} = 0$ より、$y=0$ または $x=1$ が得られます。

$y=0$ のとき、$0 \le x \le 4-0^2 = 4$ であり、$f_x = 0$ より $y=0$ が必要なので、$0 \le x \le 4$ となります。

$x=1$ のとき、$0 \le 1 \le 4-y^2$ より、$y^2 \le 3$ なので、$-\sqrt{3} \le y \le \sqrt{3}$ となります。このとき、$f(1,y) = \frac{1-1}{y^2+1} - 1 = -1$ となります。

$S$ の内部の極値候補は、$y=0$ のとき、$f(x,0) = x-1 - x = -1$ となり、$x=1$ は $-1$ に寄与することがわかりました。

次に、$S$ の境界上で $f$ の最大値と最小値を求めます。

境界は $x = 0$ または $x = 4-y^2$ です。

$x=0$ のとき、$f(0,y) = \frac{-1}{y^2+1}$ で、$-\sqrt{4} \le y \le \sqrt{4}$ より $-2 \le y \le 2$ です。$y=0$ のとき、$f(0,0) = -1$ で、$y=\pm 2$ のとき、$f(0,\pm 2) = \frac{-1}{5}$ です。

$x=4-y^2$ のとき、$f(4-y^2, y) = \frac{3-y^2}{y^2+1} - (4-y^2) = \frac{3-y^2 - (4-y^2)(y^2+1)}{y^2+1} = \frac{3-y^2 - (4+4y^2-y^4-y^2)}{y^2+1} = \frac{3-y^2 - 4 -3y^2+y^4}{y^2+1} = \frac{y^4-4y^2-1}{y^2+1}$ で、$0 \le x \le 4$ より $-2 \le y \le 2$ です。

$g(y) = \frac{y^4-4y^2-1}{y^2+1}$ とおくと、$g'(y) = \frac{(4y^3-8y)(y^2+1) - (y^4-4y^2-1)(2y)}{(y^2+1)^2} = \frac{4y^5+4y^3-8y^3-8y - 2y^5+8y^3+2y}{(y^2+1)^2} = \frac{2y^5+4y^3-6y}{(y^2+1)^2} = \frac{2y(y^4+2y^2-3)}{(y^2+1)^2} = \frac{2y(y^2+3)(y^2-1)}{(y^2+1)^2}$ です。

$g'(y) = 0$ より、$y=0, \pm 1$ です。

$g(0) = -1$, $g(\pm 1) = \frac{1-4-1}{2} = -2.0$, $g(\pm 2) = \frac{16-16-1}{5} = -\frac{1}{5}$ です。

以上より、最大値は $-\frac{1}{5}$ で、最小値は $-2$ です。

3. 最終的な答え

最大値: -1/5

最小値: -2