次の積分について答えます。 $\iint_I (x^2 + y^2) dxdy$, $I = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ (1) $f(x,y) = x^2 + y^2$ を領域 $I$ 上で $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と変数変換したときの関数と、$r$ と $\theta$ の範囲を答えます。 (2) (1) の変換におけるヤコビアンを答えます。 (3) 定積分の値を求めます。

1. 問題の内容

次の積分について答えます。

$\iint_I (x^2 + y^2) dxdy$, $I = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x^2 + y^2 \le 4\}$

(1) $f(x,y) = x^2 + y^2$ を領域 $I$ 上で $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ と変数変換したときの関数と、$r$ と $\theta$ の範囲を答えます。

(2) (1) の変換におけるヤコビアンを答えます。

(3) 定積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を $f(x,y) = x^2 + y^2$ に代入します。

$f(r, \theta) = (r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r^2$

領域 $I$ は $0 \le x^2 + y^2 \le 4$ なので、$0 \le r^2 \le 4$ となります。

したがって、$0 \le r \le 2$ です。

また、全平面をカバーするため、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le 2\pi$ です。

(2)

ヤコビアンは、

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r$

(3)

$\iint_I (x^2 + y^2) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 |J| dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 dr d\theta$

$\int_0^2 r^3 dr = \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_0^2 = \frac{1}{4}(2^4 - 0^4) = \frac{16}{4} = 4$

$\int_0^{2\pi} 4 d\theta = 4 \int_0^{2\pi} d\theta = 4 [\theta]_0^{2\pi} = 4(2\pi - 0) = 8\pi$

3. 最終的な答え

(1) 関数：$f(r, \theta) = r^2$、範囲：$0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(2) ヤコビアン：$r$

(3) 定積分の値：$8\pi$