重積分 $\iint_I (x+y) dxdy$ を計算する問題です。ただし、$I = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ であり、$u=x+y$, $v=x-y$ という変数変換を利用します。具体的には、以下の3つの問いに答えます。 (1) $f(x,y) = x+y$ を変数 $u$ と $v$ で表した関数、および $u$ と $v$ の範囲を求めます。 (2) (1) の変数変換におけるヤコビ行列を求めます。 (3) 与えられた重積分の値を求めます。

1. 問題の内容

重積分 $\iint_I (x+y) dxdy$ を計算する問題です。ただし、$I = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1\}$ であり、$u=x+y$, $v=x-y$ という変数変換を利用します。具体的には、以下の3つの問いに答えます。

(1) $f(x,y) = x+y$ を変数 $u$ と $v$ で表した関数、および $u$ と $v$ の範囲を求めます。

(2) (1) の変数変換におけるヤコビ行列を求めます。

(3) 与えられた重積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y)$ を $u, v$ で表すことと、$u, v$ の範囲を求める部分

まず、$u = x+y$, $v = x-y$ より、$x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$ となります。

したがって、$f(x,y) = x+y = u$ となります。

次に、$u$ と $v$ の範囲を求めます。

領域 $I$ は、$0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$ で定義されています。

$x = \frac{u+v}{2}$ と $y = \frac{u-v}{2}$ を代入すると、

$0 \le \frac{u+v}{2} \le 1$ つまり $0 \le u+v \le 2$

$0 \le \frac{u-v}{2} \le 1$ つまり $0 \le u-v \le 2$

整理すると、以下の不等式が得られます。

$-u \le v \le u$

$u-2 \le v \le u$

$u-2 \le v \le 2-u$

領域を図示すると、$u, v$ の範囲は以下のようになります。

$0 \le u \le 1$ のとき $-u \le v \le u$

$1 \le u \le 2$ のとき $u-2 \le v \le 2-u$

(2) ヤコビ行列を求める部分

ヤコビ行列 $J$ は、以下のように定義されます。

$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$

$x = \frac{u+v}{2}$ より、$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2}$, $\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{u-v}{2}$ より、$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{2}$, $\frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{1}{2}$

したがって、ヤコビ行列は以下のようになります。

$J = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

ヤコビアンは、$|J| = |\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}| = |-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

(3) 定積分の値を求める部分

$\iint_I (x+y) dxdy = \iint_D u |J| dudv = \int_0^1 \int_{-u}^u u \frac{1}{2} dvdu + \int_1^2 \int_{u-2}^{2-u} u \frac{1}{2} dvdu$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 u [v]_{-u}^u du + \frac{1}{2} \int_1^2 u [v]_{u-2}^{2-u} du$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 u(u - (-u)) du + \frac{1}{2} \int_1^2 u((2-u) - (u-2)) du$

$= \frac{1}{2} \int_0^1 2u^2 du + \frac{1}{2} \int_1^2 u(4-2u) du$

$= \int_0^1 u^2 du + \int_1^2 (2u - u^2) du$

$= [\frac{u^3}{3}]_0^1 + [u^2 - \frac{u^3}{3}]_1^2$

$= (\frac{1}{3} - 0) + ((4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}))$

$= \frac{1}{3} + (4 - \frac{8}{3} - 1 + \frac{1}{3})$

$= \frac{1}{3} + 3 - \frac{7}{3} = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} - \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(u,v) = u$, $0 \le u \le 1$ のとき $-u \le v \le u$, $1 \le u \le 2$ のとき $u-2 \le v \le 2-u$

(2) $J = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(3) 1