$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、まず、$x = \tan{\theta}$ という三角関数による置換積分を行います。

このとき、$dx = \sec^2{\theta} d\theta$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{1}{(\tan^2{\theta}+1)^2} \sec^2{\theta} d\theta$

$\tan^2{\theta} + 1 = \sec^2{\theta}$ であることを利用すると、積分は次のように簡略化できます。

$\int \frac{1}{(\sec^2{\theta})^2} \sec^2{\theta} d\theta = \int \frac{1}{\sec^4{\theta}} \sec^2{\theta} d\theta = \int \frac{1}{\sec^2{\theta}} d\theta = \int \cos^2{\theta} d\theta$

次に、$\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}$ であることを利用します。

$\int \cos^2{\theta} d\theta = \int \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1 + \cos{2\theta}) d\theta = \frac{1}{2} \left( \theta + \frac{1}{2} \sin{2\theta} \right) + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin{2\theta} + C$

ここで、$\sin{2\theta} = 2 \sin{\theta} \cos{\theta}$ であることを利用します。

$\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin{2\theta} + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin{\theta} \cos{\theta} + C$

$x = \tan{\theta}$ より、$\theta = \arctan{x}$ です。また、$\sin{\theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ および $\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ です。

したがって、

$\frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin{\theta} \cos{\theta} + C = \frac{1}{2} \arctan{x} + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) + C = \frac{1}{2} \arctan{x} + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{(x^2+1)^2} dx = \frac{1}{2} \arctan{x} + \frac{x}{2(x^2+1)} + C$