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$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求めます。

解析学微分三角関数導関数sin関数
2025/7/15

1. 問題の内容

nn を自然数とするとき、y=sin⁡xy = \sin x の第 nn 次導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、y=sin⁡xy = \sin x の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。
* y=sin⁡xy = \sin x
* y′=cos⁡x=sin⁡(x+π2)y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})
* y′′=−sin⁡x=sin⁡(x+2π2)=sin⁡(x+π)y'' = -\sin x = \sin(x + 2\frac{\pi}{2}) = \sin(x + \pi)
* y′′′=−cos⁡x=sin⁡(x+3π2)y''' = -\cos x = \sin(x + 3\frac{\pi}{2})
* y(4)=sin⁡x=sin⁡(x+4π2)=sin⁡(x+2π)y^{(4)} = \sin x = \sin(x + 4\frac{\pi}{2}) = \sin(x + 2\pi)
このように、nn 回微分するごとに、π2\frac{\pi}{2} ずつ引数が増えていくことがわかります。よって、
y(n)=sin⁡(x+nπ2)y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})

3. 最終的な答え

sin⁡(x+nπ2)\sin(x + n\frac{\pi}{2})

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