与えられた2つの関数を積分する問題です。 (1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$ (2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を積分する問題です。

(1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

(2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx$

半角のタンジェント置換を行います。$t = \tan \frac{x}{2}$ と置くと、

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

したがって、

$\int \frac{1}{2 + \sin x} dx = \int \frac{1}{2 + \frac{2t}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{2}{2(1+t^2) + 2t} dt = \int \frac{1}{t^2 + t + 1} dt$

平方完成すると、

$\int \frac{1}{(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dt = \int \frac{1}{(t + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dt$

$u = t + \frac{1}{2}$ と置くと、$du = dt$

$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} du = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan \frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2u}{\sqrt{3}} + C$

$u = t + \frac{1}{2}$ を代入して、$t = \tan \frac{x}{2}$ を代入すると、

$\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2(\tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2})}{\sqrt{3}} + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C$

(2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

$\int \frac{1}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx = \int \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \tan \frac{x}{2} + C_1$

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = - \int \frac{- \sin x}{1 + \cos x} dx = - \ln |1 + \cos x| + C_2$

したがって、$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \tan \frac{x}{2} - \ln |1 + \cos x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{2 + \sin x} dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 \tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{3}} + C$

(2) $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \tan \frac{x}{2} - \ln |1 + \cos x| + C$