$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

$y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。ここで、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を何回か微分して、規則性を見つけます。

$y = (x-1)e^x$

1階微分：

$y' = \frac{d}{dx} [(x-1)e^x] = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

2階微分：

$y'' = \frac{d}{dx} [xe^x] = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

3階微分：

$y''' = \frac{d}{dx} [(x+1)e^x] = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

これらの結果から、$y$ の $n$ 次導関数は $(x+n-1)e^x$ と予想できます。これを数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$y' = xe^x = (x+1-1)e^x$ となり、予想は正しいです。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = (x+k-1)e^x$ が成り立つと仮定します。

このとき、$y^{(k+1)}$ は次のようになります。

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} [(x+k-1)e^x] = e^x + (x+k-1)e^x = (x+k)e^x = (x+(k+1)-1)e^x$

したがって、$n=k+1$ のときも予想は正しいです。

(i), (ii) より、数学的帰納法によって、$y$ の $n$ 次導関数は $(x+n-1)e^x$ であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$y$ の第 $n$ 次導関数は $(x+n-1)e^x$ である。