関数 $y = xe^x$ が与えられたとき、$y$ の3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^x$ が与えられたとき、$y$ の3次導関数 $y^{(3)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ の1次導関数、2次導関数、3次導関数を順に計算します。

* 1次導関数 $y'$ を計算します。積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y = xe^x$ より、

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

* 2次導関数 $y''$ を計算します。

$y' = (x+1)e^x$ より、

$y'' = (x+1)'e^x + (x+1)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x+1) \cdot e^x = e^x + xe^x + e^x = xe^x + 2e^x = (x+2)e^x$

* 3次導関数 $y^{(3)}$ を計算します。

$y'' = (x+2)e^x$ より、

$y^{(3)} = (x+2)'e^x + (x+2)(e^x)' = 1 \cdot e^x + (x+2) \cdot e^x = e^x + xe^x + 2e^x = xe^x + 3e^x = (x+3)e^x$

3. 最終的な答え

$y^{(3)} = (x+3)e^x$