与えられた三角関数に関する方程式と不等式を解く問題です。$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。ここでは問題番号3と4を解きます。 問題3：$2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$ 問題4：$2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数に関する方程式と不等式を解く問題です。$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ です。ここでは問題番号3と4を解きます。

問題3：$2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

問題4：$2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

2. 解き方の手順

問題3: $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$ を解く。

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、$\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ で表します。

$2(1 - \cos^2\theta) + \cos\theta - 2 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

$-2\cos^2\theta + \cos\theta = 0$

$\cos\theta(-2\cos\theta + 1) = 0$

したがって、$\cos\theta = 0$ または $-2\cos\theta + 1 = 0$、つまり $\cos\theta = \frac{1}{2}$ となります。

$\cos\theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ です。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

問題4: $2\cos^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$ を解く。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、$\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。

$2(1 - \sin^2\theta) + 2 \ge -7\sin\theta$

$2 - 2\sin^2\theta + 2 \ge -7\sin\theta$

$-2\sin^2\theta + 7\sin\theta + 4 \ge 0$

$2\sin^2\theta - 7\sin\theta - 4 \le 0$

$(2\sin\theta + 1)(\sin\theta - 4) \le 0$

ここで、$-1 \le \sin\theta \le 1$ より、$\sin\theta - 4 < 0$ は常に成り立ちます。

したがって、$2\sin\theta + 1 \ge 0$ であれば、$(2\sin\theta + 1)(\sin\theta - 4) \le 0$ を満たします。

$2\sin\theta + 1 \ge 0$

$\sin\theta \ge -\frac{1}{2}$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$\sin\theta \ge -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ の範囲は、 $0 \le \theta \le \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$ です。

3. 最終的な答え

問題3：$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

問題4：$0 \le \theta \le \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \le \theta < 2\pi$