スターリングの公式を用いて、100!の桁数を求める問題です。スターリングの公式は以下の通りです。 $1 < \frac{n!}{(n^ne^{-n})\sqrt{2\pi n}} < e^{\frac{1}{12n}}$ また、自然数Nの桁数は$\lfloor \log_{10}N \rfloor + 1$で求められることがヒントとして与えられています。

1. 問題の内容

スターリングの公式を用いて、100!の桁数を求める問題です。スターリングの公式は以下の通りです。

$1 < \frac{n!}{(n^ne^{-n})\sqrt{2\pi n}} < e^{\frac{1}{12n}}$

また、自然数Nの桁数は$\lfloor \log_{10}N \rfloor + 1$で求められることがヒントとして与えられています。

2. 解き方の手順

まず、スターリングの公式の中央の項に、$n = 100$を代入します。

$\frac{100!}{(100^{100}e^{-100})\sqrt{2\pi \cdot 100}}$

この式を評価するために、対数を取ります。特に、常用対数$\log_{10}$を考えます。

まず、与えられた不等式から、

$\frac{n!}{(n^ne^{-n})\sqrt{2\pi n}} \approx 1$

であるとみなせます。よって、

$100! \approx (100^{100}e^{-100})\sqrt{2\pi \cdot 100}$

常用対数を取ると、

$\log_{10}(100!) \approx \log_{10}((100^{100}e^{-100})\sqrt{200\pi})$

$\log_{10}(100!) \approx \log_{10}(100^{100}) + \log_{10}(e^{-100}) + \log_{10}(\sqrt{200\pi})$

$\log_{10}(100!) \approx 100\log_{10}(100) - 100\log_{10}(e) + \frac{1}{2}\log_{10}(200\pi)$

$\log_{10}(100!) \approx 100 \cdot 2 - 100\log_{10}(e) + \frac{1}{2}\log_{10}(200\pi)$

ここで、$\log_{10}(e) \approx 0.4343$、$\pi \approx 3.14$なので、

$\log_{10}(100!) \approx 200 - 100 \cdot 0.4343 + \frac{1}{2}\log_{10}(200 \cdot 3.14)$

$\log_{10}(100!) \approx 200 - 43.43 + \frac{1}{2}\log_{10}(628)$

$\log_{10}(100!) \approx 156.57 + \frac{1}{2}\log_{10}(628)$

$\log_{10}(628) \approx \log_{10}(10^2 \cdot 6.28) = 2 + \log_{10}(6.28)$

$6.28$ は、$10^{0.8}$の付近にあるので $\log_{10}(6.28) \approx 0.8$程度と見積もれます。より正確には、$\log_{10}(6.28) \approx 0.798$ です。

よって、$\log_{10}(628) \approx 2.798$。

$\log_{10}(100!) \approx 156.57 + \frac{1}{2} \cdot 2.798 \approx 156.57 + 1.399 \approx 157.969$

したがって、100!の桁数は、$\lfloor \log_{10}(100!) \rfloor + 1$ で求められるので、

$\lfloor 157.969 \rfloor + 1 = 157 + 1 = 158$ となります。

3. 最終的な答え

158桁