与えられた4つのべき級数の収束半径を求めます。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$ (3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n+1} x^n$ (4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

1. 問題の内容

与えられた4つのべき級数の収束半径を求めます。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2} x^n$

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{3^n+1} x^n$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} (\log n) x^n$

2. 解き方の手順

べき級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の収束半径 $R$ は、次の式で求められます。

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ または $R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

(1) $a_n = \frac{n!}{n^n}$ の場合

$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!/(n^n)}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}} = \frac{n! (n+1)^{n+1}}{(n+1)! n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

したがって、$R = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

(2) $a_n = (-1)^n \frac{2^n}{n^2}$ の場合

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{2^n / n^2}{2^{n+1} / (n+1)^2} \right| = \frac{2^n (n+1)^2}{2^{n+1} n^2} = \frac{(n+1)^2}{2 n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{2 n^2} = \frac{1 + 2/n + 1/n^2}{2}$

したがって、$R = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2/n + 1/n^2}{2} = \frac{1}{2}$

(3) $a_n = \frac{2^{n+1}}{3^n+1}$ の場合

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \left| \frac{2^{n+1}/(3^n+1)}{2^{n+2}/(3^{n+1}+1)} \right| = \frac{2^{n+1} (3^{n+1}+1)}{2^{n+2} (3^n+1)} = \frac{3^{n+1}+1}{2 (3^n+1)} = \frac{3^{n+1}(1 + 3^{-(n+1)})}{2 \cdot 3^n (1+3^{-n})} = \frac{3 (1+3^{-(n+1)})}{2 (1+3^{-n})}$

したがって、$R = \lim_{n \to \infty} \frac{3 (1+3^{-(n+1)})}{2 (1+3^{-n})} = \frac{3}{2}$

(4) $a_n = \log n$ の場合

$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\log n}$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\log n} = 1$ であるから、$R = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $1$