次の不定積分を計算します。 $\int \left\{ \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} + \tan(\frac{x}{2}) \right\} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \left\{ \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} + \tan(\frac{x}{2}) \right\} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int \left\{ \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} + \tan(\frac{x}{2}) \right\} dx = \int \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx + \int \tan(\frac{x}{2}) dx$

それぞれの積分を個別に計算します。

最初の積分：

$\int \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

ここで、$u = \frac{x}{2}$ と置換すると、$du = \frac{1}{2} dx$ より、$dx = 2 du$。

$\frac{1}{2} \int \sec^2(u) (2 du) = \int \sec^2(u) du = \tan(u) + C_1 = \tan(\frac{x}{2}) + C_1$

次の積分：

$\int \tan(\frac{x}{2}) dx = \int \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} dx$

ここで、$v = \cos(\frac{x}{2})$ と置換すると、$dv = -\frac{1}{2} \sin(\frac{x}{2}) dx$ より、$\sin(\frac{x}{2}) dx = -2 dv$。

$\int \frac{-2}{v} dv = -2 \int \frac{1}{v} dv = -2 \ln|v| + C_2 = -2 \ln|\cos(\frac{x}{2})| + C_2$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx + \int \tan(\frac{x}{2}) dx = \tan(\frac{x}{2}) - 2 \ln|\cos(\frac{x}{2})| + C$

3. 最終的な答え

$\tan(\frac{x}{2}) - 2 \ln|\cos(\frac{x}{2})| + C$