問題39の(1)は、次の級数の収束半径を求める問題です。 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n} x^n$

以下に、問題39の(1)の解答を示します。

1. 問題の内容

問題39の(1)は、次の級数の収束半径を求める問題です。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n} x^n$

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ は、比判定法を用いて求められます。

$a_n = \frac{(2n+1)!!}{(n+1)^n}$ とおくと、

$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!!}{(n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^n}{(2n+1)!!}$

ここで、$(2n+3)!! = (2n+3)(2n+1)!!$ であるから、

$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)(2n+1)!!}{(n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^n}{(2n+1)!!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}}$

$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+2} \cdot \frac{(n+1)^n}{(n+2)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+2} \cdot \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{n+2} = 2$ である。

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+2-1}{n+2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^n$

$= \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^{n+2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{n+2} \right)^{-2} = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$

したがって、

$\frac{1}{R} = 2 \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{e}$

よって、$R = \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

収束半径は $\frac{e}{2}$ です。