与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right) $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right)

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2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形に変形することで計算できます。まず、式を$\frac{1}{n}$でくくり出し、総和の記号を用いて書き換えます。

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\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(1+(k/n)^2)}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{1+(k/n)^2}}

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= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+(k/n)^2}}

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これは、関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の区間 $[0, 1]$ におけるリーマン和と見なせるので、積分で表現できます。

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\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+(k/n)^2}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx

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この積分を計算します。

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\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \left[ \sinh^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = \sinh^{-1}(1) - \sinh^{-1}(0)

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$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ なので、

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\sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{1^2+1}) = \ln(1 + \sqrt{2})

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\sinh^{-1}(0) = \ln(0 + \sqrt{0^2+1}) = \ln(1) = 0

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したがって、

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\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \ln(1 + \sqrt{2})

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3. 最終的な答え

$\ln(1 + \sqrt{2})$