与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。ヒントとして $x = \sin \theta$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。ヒントとして $x = \sin \theta$ が与えられています。

2. 解き方の手順

$x = \sin \theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos \theta d\theta$ となります。

積分の範囲も変更する必要があります。

- $x = 0$ のとき、$\sin \theta = 0$ なので $\theta = 0$ です。

- $x = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta d\theta$

$\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos \theta|$ です。区間 $[0, \frac{\pi}{6}]$ で $\cos \theta > 0$ なので $|\cos \theta| = \cos \theta$ です。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$