与えられた定積分の値を計算する問題です。具体的には、以下の6つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} 2dx$ (2) $\int_{0}^{1} xdx$ (3) $\int_{0}^{1} (x^3 + x + 1)dx$ (4) $\int_{0}^{3} 2x^2 dx$ (5) $\int_{1}^{3} 2x^2 dx$ (6) $\int_{1}^{3} (5x^2 - 1)dx$ また、問題文中に以下の情報が与えられています。 $\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$ $\int_{0}^{3} x^2 dx = 9$ $\int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4}$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算する問題です。具体的には、以下の6つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} 2dx$

(2) $\int_{0}^{1} xdx$

(3) $\int_{0}^{1} (x^3 + x + 1)dx$

(4) $\int_{0}^{3} 2x^2 dx$

(5) $\int_{1}^{3} 2x^2 dx$

(6) $\int_{1}^{3} (5x^2 - 1)dx$

また、問題文中に以下の情報が与えられています。

$\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{3} x^2 dx = 9$

$\int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} 2dx = [2x]_{0}^{1} = 2(1) - 2(0) = 2$

(2) $\int_{0}^{1} xdx = [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2}$

(3) $\int_{0}^{1} (x^3 + x + 1)dx = \int_{0}^{1} x^3 dx + \int_{0}^{1} x dx + \int_{0}^{1} 1 dx = [\frac{1}{4}]_{0}^{1} + [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{1} + [x]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1+2+4}{4} = \frac{7}{4}$

(4) $\int_{0}^{3} 2x^2 dx = 2 \int_{0}^{3} x^2 dx = 2(9) = 18$

(5) $\int_{1}^{3} 2x^2 dx = 2 \int_{1}^{3} x^2 dx = 2 \left( \int_{0}^{3} x^2 dx - \int_{0}^{1} x^2 dx \right) = 2 \left( 9 - \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{27-1}{3} \right) = 2 \left( \frac{26}{3} \right) = \frac{52}{3}$

(6) $\int_{1}^{3} (5x^2 - 1)dx = 5 \int_{1}^{3} x^2 dx - \int_{1}^{3} 1 dx = 5 \left( 9 - \frac{1}{3} \right) - [x]_{1}^{3} = 5 \left( \frac{26}{3} \right) - (3-1) = \frac{130}{3} - 2 = \frac{130-6}{3} = \frac{124}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{7}{4}$

(4) 18

(5) $\frac{52}{3}$

(6) $\frac{124}{3}$