与えられた定積分 $\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の不定積分を求めます。これは逆三角関数の一つである$\arcsin(x)$ の微分であることから、

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$

となります。ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の定義に従って、$\arcsin(x)$ を積分区間の上限と下限で評価し、その差を計算します。すなわち、

$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0)$

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ であるため、

$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$